Les équations différentielles algébriques et les singularités mobiles

Résumé. On considère des équations différentielles ordinaires polynomiales,
dites algébriques ; parmi celles-ci, on s'intéresse à celles qui n'ont pas de
singularité mobile dans le sens classique : on dit que ces équations sont
dans la classe de Fuchs-Painlevé. Pour commencer, on fait l'étude locale
des équations différentielles algébriques en général et on caractérise de
plusieurs façons les équations qui sont dans la classe de Fuchs-Painlevé.
À une équation dans cette classe l'on associe un feuilletage analytique
génériquement transverse à une fibration sur une surface complexe lisse
compacte. Après introduire la notion de genre d'une équation différentielle
algébrique, due à Poincaré, on développe la classification birationnelle des
équations dans la classe de Fuchs-Painlevé de genre 0 et genre 1 ; dans le cas
de genre plus grand que 1 on démontre l'existence d'une intégrale première
rationnelle. Finalement, on démontre qu'une équation différentielle
algébrique qui admet une solution locale ayant une singularité essentielle est
forcément dans la classe de Fuchs-Painlevé.